שיעור 58: שאלה קצרה – המספר שנמחק בסכום – בגרות קיץ 2021 מועד מיוחד

פרק 9 – שאלות קצרות בסדרות (שאלה 1 בבגרות 571)

1נוסח השאלה

2סעיף ב (1) – המספר שנמחק

3סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

ב. בחוברת לימוד ישנה ומוכתמת נמצא התרגיל הבא:

הוכיחו כי לכל n טבעי מתקיים השוויון הבא:

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …
+ n · 3ⁿ⁻¹
= (2n − 1)3ⁿ + ▒4

אחד המספרים באגף ימין של התרגיל נמחק (סומן כאן ▒).

(1) מצאו את המספר שנמחק.

📄 נוסח השאלה · המשך

(2) הציבו את המספר שמצאתם והוכיחו באינדוקציה, או בדרך אחרת, כי השוויון מתקיים לכל n טבעי.

סעיף ב (1) – המספר שנמחק

נסמן את המספר שנמחק ב־c ונציב n = 1. באגף שמאל יש איבר אחד:

1 · 3⁰ = 1

1 = (2 · 1 − 1) · 3¹ + c4

4 = 3 + c

c = 1

✅ פתרון סופי: 1

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה

1 · 1 + 2 · 3 + … + n · 3ⁿ⁻¹

📐 שיטה: אינדוקציה מתמטית

= (2n − 1)3ⁿ + 14

שלב 1 – בדיקה עבור n = 1: בסעיף ב(1): אגף שמאל 1, אגף ימין 3 + 14 = 1. מתקיים.

שלב 2 – הנחה: השוויון נכון עבור n = k:

1 · 1 + 2 · 3 + … + k · 3^k−1

= (2k − 1)3^k + 14

📐 שיטה: אינדוקציה מתמטית

(1) בדיקה ל־n = 1 ; (2) הנחה ל־n = k ; (3) הוכחה ל־n = k + 1

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך

= (2k − 1)3^k + 14

שלב 3 – הוכחה עבור n = k + 1: צריך להראות:

1 · 1 + … + (k + 1) · 3^k

= (2k + 1)3^k+1 + 14

אגף שמאל הוא הסכום עד k ועוד האיבר הבא (k + 1) · 3^k. לפי ההנחה:

= (2k − 1)3^k + 14 + (k + 1) · 3^k

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך

= (2k − 1)3^k + 14 + (k + 1) · 3^k

= (2k − 1)3^k + 4(k + 1)3^k + 14

= 3^k(2k − 1 + 4k + 4) + 14

= 3^k(6k + 3) + 14

= 3^k · 3(2k + 1) + 14

= (2k + 1)3^k+1 + 14

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה · המשך

= (2k + 1)3^k+1 + 14

קיבלנו את אגף ימין עבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח

📌 סיכום התשובות

סעיף ב (1)

סעיף ב (2)

הוכח

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא